Matematiska modeller av verkligheten – begränsade men användbara

Sällan har väl matematiska och statistiska modeller diskuterats så flitigt som just nu. För en som håller på med dem till vardags är det om inte roligt så i alla fall intressant.

En modell är en förenkling av verkligheten. Man gör några antaganden om hur saker hänger ihop, och får då en formel som kan användas för att gissa hur saker och ting kommer att utveckla sig i framtiden, givet vissa indata.

Just för att de är förenklingar hör man ibland folk säga att de är meningslösa, och att vi måste ”titta på verkligheten”. Jag håller inte med. Alla använder sig av modeller hela tiden, utan att tänka på det.

Modeller ger regelbundenhet. Utan regelbundenhet blir historien bara en samling slumpmässiga händelser, och framtiden helt osäker. Hur kan vi till exempel veta att solen kommer gå upp imorgon? Hittills har den alltid gjort det, men utan modeller finns det inget som säger att det kommer att fortsätta vara så. Men om vi antar att jorden vrider sig med en konstant hastighet runt sin egen axel har vi både en bra förklaring till tidigare soluppgångar, och goda grunder att anta att det kommer fortsätta på samma sätt.

Därför välkomnade jag att Folkhälsomyndigheten igår publicerade en rapport med en matematisk modell för smittspridningen i Stockholm. De har säkerligen ändå tänkt i liknande banor när de gjort uppskattningar om spridning, toppar, flockimmunitet med mera. Nu blev det för första gången tydligt exakt hur man tänker. Det ger oss möjlighet både att förstå vad som händer nu, och ett bättre underlag för framtida ansvarsutkrävande.

Tyvärr verkar det ha blivit något fel, och rapporten drogs tillbaka. Till DN säger Anders Tegnell att det beror på att modellen inte uppdaterats med rätt antal sjuka. Efter att själv ha studerat rapporten undrar jag om det verkligen är hela bilden.

Det myndigheten gjort är att sätta upp ett antal ekvationer som utifrån vissa grundantaganden räknar ut ett förväntat antal nya rapporterade fall per dag. Genom att skruva på de olika ”rattarna” – alltså antagandena om smittsamhet, andelen oupptäckta fall med mera – får man kurvor som ser olika ut. Om man hittar en som ger ett mönster som passar väl med observerad data kan det visa att rattarna är rätt inställda, och vi kan då göra gissningar om framtiden.

Problemet som jag ser det är att man verkade jämföra äpplen och päron. Både i rapporten (sidan 7 i den här gamla versionen) och datakoden verkade det som att värdena som jämfördes med det faktiska antalet rapporterade fall motsvarade något annat i modellen, nämligen antalet personer som varje dag smittats av bekräftat sjuka b_t * I_r * S / N. Som jag förstår det beskrivs antalet rapporterade fall per dag istället av uttrycket (1-p_0) * rho * E. Modellens kalibrering borde därför bli felaktig.

UPPDATERING 2020-04-23 14:19: Modellen har nu uppdateras så att rätt uttryck används.

Jag laddade ned koden och prövade att ändra inställningarna – resultaten blev inte radikalt annorlunda. Men när jag tittade på det närmare blev det också uppenbart hur många olika rörliga delar det finns, och man kan komma fram till liknande resultat på flera olika sätt.

Det finns bara ett sätt att slå en tärning så att resultatet blir sex. Men det finns fem sätt att slå två tärningar så att deras summa blir sex: 1+5, 2+4, 3+3, 4+2 och 5+1. Slår man tre tärningar kan det bli sex på 10 olika sätt (1+1+4, 1+2+3, osv).

I Folkhälsomyndighetens modell är det många tärningar: inkubationstidens längd, hur länge man är smittsam, andelen oupptäckta fall, smittsamheten hos dem som är oupptäckta, samt smittsamhetens förändring över tid.

Många olika konfigurationer ger resultat som passar någorlunda väl med observerade data, och med tanke på att det råder osäkerhet kring den med går det inte att enkelt avgöra vilken konfiguration som är bäst, vilket får konsekvenser till exempel för hur många oupptäckta fall det går på varje bekräftat fall.

Man ska alltså varken avfärda eller lita blint på modeller. I samhällsvetenskapen där vi har att göra med både osäkra data och bångstyriga studieobjekt finner jag det oftast bäst att utgå från enkla modeller. Det minskar risken för räknefel och gör det dessutom uppenbart att de bara är grova förenklingar av verkligheten, inte fysikaliska lagar.

De uppdaterade modeller som Folkhälsomyndigheten ska presentera idag bör alltså tas med en nypa salt, de också. Men jag är ändå glad för transparensen. Utan modeller finns det ingen grund för att göra några förutsägelser om framtiden, annat än magkänslan. Ska det gissas, bör vi få veta på vilka grunder.